Разложение на множители

Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки. Например, разложить на множители: x2/3 — 3x + 12. Запишем как x^2/3-3*x+12. Выносим общий множитель х4 за скобки.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Его и будем выносить за скобки. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением. Ищем общий множитель. Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения.

Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. При таком равенстве второй множитель нас не волнует.

Разложение многочленов на множители. Способ группировки

Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Разложение на множители работает во всей математике.

Метод 2 из 3: Разложение на множители квадратных уравнений

Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители. Для этого необходимо найти общие множители. Эта теорема сформулирована для комплексных корней , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки. Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения.

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители. В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена. Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители.

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.

Это был первый метод разложения многочлена на множители. Далее возможно, что у всех групп образуется общий множитель, и мы сможем его вынести. Обратим внимание на тот факт, что группы можно объединять по-разному, но лучше группировать те члены, где очевидно есть общий множитель. В данном случае выполнять вычисления напрямую будет достаточно долго и сложно, поэтому попробуем разложить выражение на множители способом группировки.

Метод 1 из 3: Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами.

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную. Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям.

Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений.

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители.

Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3). Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения.

В некоторых случаях квадратные уравнения могут быть быстро и легко разложены на множители с помощью специальной алгебраической идентичности. Вернемся к уравнению x2 + 5x + 6 = 0. Это уравнение раскладывается на множители (х+3)(х+2)=0. Если один из множителей равен 0, то все уравнение равно 0. Поэтому запишем: (х+3)=0 и (х+2)=0 и найдем х=-3 и х=-2 (соответственно). Нужно упомянуть, что кубические уравнения и уравнения более высокого порядка можно разложить на множители, хотя процесс разложения является сложным.

Но у многочлена может и не быть общего множителя, в таком случае мы будем искать его только у группы членов. Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Разбираемся со вторым множителем.

Также интересно: